Question

已知l₁，l₂，l₃是同一平面內(nèi)三條不重合自上而下的平行直線．
（Ⅰ）如果l₁與l₂間的距離是1，l₂與l₃間的距離是1，可以把一個(gè)正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別放在l₁，l₂，l₃上，求這個(gè)正三角形ABC的邊長；
（Ⅱ）如圖，如果l₁與l₂間的距離是1，l₂與l₃間的距離是2，能否把一個(gè)正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別放在l₁，l₂，l₃上，如果能放，求BC和l₃夾角的正切值并求該正三角形邊長；如果不能，說明為什么？
（Ⅲ）如果邊長為2的正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別在l₁，l₂，l₃上，設(shè)l₁與l₂的距離為d₁，l₂與l₃的距離為d₂，求d₁•d₂的范圍？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)A、C到直線l₂的距離相等，可得l₂ 過AC的中點(diǎn)M，l₂⊥AC，從而求得邊長AC=2AM 的值．
（Ⅱ）設(shè)邊長為aBC與l₃的夾角為θ，不妨設(shè)0°＜θ≤60°，可得asinθ=2，asin（60°-θ）=1．兩式相比化簡可得sinθ=，由此求得邊長 a= 的值．
（Ⅲ）利用兩角和差的正弦、余弦公式化簡d₁•d₂ =4sin（60°-θ） sinθ 為 2sin（2θ+30°）-1，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得d₁•d₂的范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵A、C到直線l₂的距離相等，∴l(xiāng)₂ 過AC的中點(diǎn)M，∴l(xiāng)₂⊥AC，∴邊長AC=2AM=2．
（Ⅱ）設(shè)邊長為aBC與l₃的夾角為θ，由對稱性，不妨設(shè)0°＜θ≤60°，∴asinθ=2，asin（60°-θ）=1．
兩式相比得：sinθ=2sin（60°-θ），即 sinθ=cosθ-sinθ，∴2sinθ=cosθ，∴tanθ=．
∴sinθ=，邊長 a==．
（Ⅲ）d₁•d₂ =4sin（60°-θ）sinθ=4（cosθ-sinθ） sinθ=2（sin2θ-）=2sin（2θ+30°）-1．
∵0°＜θ≤60°，∴30°＜2θ+30°≤150°，＜2sin（2θ+30°）≤1，∴d₁•d₂ ∈（0，1]，
即d₁•d₂的范圍是 （0，1]．
點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域和值域，