Question

已知函數．
（1）求的最小值；
（2）當函數自變量的取值區(qū)間與對應函數值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數的保值區(qū)間.設，試問函數在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）在處取得最小值．
（2）函數在上不存在保值區(qū)間,證明見解析.

試題分析：（1）求導數，解得函數的減區(qū)間；
解，得函數的增區(qū)間．
確定在處取得最小值．
也可以通過“求導數、求駐點、研究函數的單調區(qū)間、確定極值（最值）” .
（2）函數在上不存在保值區(qū)間.
函數存在保值區(qū)間即函數存在自變量的取值區(qū)間與對應函數值的取值區(qū)間相同.因此，可以假設函數存在保值區(qū)間,研究對應函數值的取值區(qū)間.在研究函數值取值區(qū)間過程中，要么得到肯定結論，要么得到矛盾結果.本題通過求導數：，明確時， ，得到所以為增函數，因此
轉化得到方程有兩個大于的相異實根，構造函數 后知其為單調函數，推出矛盾，作出結論.
試題解析：
（1）求導數，得．
令，解得．                     2分
當時，，所以在上是減函數；
當時，，所以在上是增函數．
故在處取得最小值．      6分
（2）函數在上不存在保值區(qū)間,證明如下：
假設函數存在保值區(qū)間,
由得：
因時， ，所以為增函數，所以
即方程有兩個大于的相異實根      9分
設 

因，，所以在上單增
所以在區(qū)間上至多有一個零點          12分
這與方程有兩個大于的相異實根矛盾
所以假設不成立，即函數在上不存在保值區(qū)間.      13分