Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，然后對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化可得出結(jié)論；

（2）由（1）知，并且、是關(guān)于的二次方程的兩根，利用韋達(dá)定理得出，，令，利用導(dǎo)數(shù)證明出不等式對任意的恒成立即可.

（1）因?yàn)?/span>定義域?yàn)?/span>，

所以.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，由得

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，.

①若，即當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，函數(shù)在是減函數(shù)，函數(shù)無極值點(diǎn)，

若，即時(shí)，

方程有兩根、，，，

，，不妨設(shè)，

當(dāng)和時(shí)，，時(shí)，，

、是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

（2）由（1）可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

且、是方程的兩個(gè)正根，則，，

令，則

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，

故．