【題目】已知函數(shù)在處取得極值,其中為常數(shù).若對任意,不等式恒成立,求的取值范圍.
【答案】.
【解析】試題分析: 函數(shù)在處取得極值,即, ,列出方程組可求出a,b的值,代入函數(shù)求出解析式,對函數(shù)求導判斷單調(diào)性,求出函數(shù)的極小值, 且此極小值也是最小值, 要使對任意恒成立,只需小于等于函數(shù)的最小值,代入解出c的取值范圍即可.
試題解析:
由題意知f(1)=b-c=-3-c,因此b=-3.
對f(x)求導,得
f′(x)=4ax3ln x+ax4·+4bx3
=x3(4aln x+a+4b).
由題意知f′(1)=0,得a+4b=0,解得a=12,
從而f′(x)=48x3ln x(x>0).令f′(x)=0,解得x=1.
當0<x<1時,f′(x)<0,此時f(x)為減函數(shù);
當x>1時,f′(x)>0,此時f(x)為增函數(shù).
所以f(x)在x=1處取得極小值f(1)=-3-c,
并且此極小值也是最小值.
所以要使f(x)≥-2c2(x>0)恒成立,只需-3-c≥-2c2即可.
整理得2c2-c-3≥0,解得c≥或c≤-1.
所以c的取值范圍為.
點睛: 本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的極值和最值以及函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題目.恒成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題,往往可利用參變分離的方法,轉化為求函數(shù)最值處理.也可構造新函數(shù)然后利用導數(shù)來求解,注意利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,F1,F2分別是橢圓C:的左、右焦點,A是橢圓C的頂點,B是直線AF2與橢圓C的另一個交點,∠F1AF2=60°.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)已知△AF1B的面積為40,求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩名學生中選拔一人參加射箭比賽,為此需要對他們的射箭水平進行測試.現(xiàn)這兩名學生在相同條件下各射箭10次,命中的環(huán)數(shù)如表:
甲 | 8 | 9 | 7 | 9 | 7 | 6 | 10 | 10 | 8 | 6 |
乙 | 10 | 9 | 8 | 6 | 8 | 7 | 9 | 7 | 8 | 8 |
(1)計算甲、乙兩人射箭命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標準差;
(2)比較兩個人的成績,然后決定選擇哪名學生參加射箭比賽.
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【題目】設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230 , 那么a3a6a9…a30等于( )
A.210
B.220
C.216
D.215
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【題目】某工廠家具車間造A、B型兩類桌子,每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時和2小時,漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時和1小時;又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時,而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤2千元和3千元,試問工廠每天應生產(chǎn)A、B型桌子各多少張,才能獲得利潤最大?
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【題目】設△ABC的內(nèi)角,A,B,C對邊的邊長分別為a,b,c,且acosB﹣bcosA= c.
(1)求 的值;
(2)求tan(A﹣B)的最大值.
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【題目】小明計劃在8月11日至8月20日期間游覽某主題公園,根據(jù)旅游局統(tǒng)計數(shù)據(jù),該主題公園在此期間“游覽舒適度”(即在園人數(shù)與景區(qū)主管部門核定的最大瞬時容量之比, 以下為舒適, 為一般, 以上為擁擠),情況如圖所示,小明隨機選擇8月11日至8月19日中的某一天到達該主題公園,并游覽天.
(1)求小明連續(xù)兩天都遇上擁擠的概率;
(2)設是小明游覽期間遇上舒適的天數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;
(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大?(結論不要求證明)
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