Question

【題目】以下五個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：

①平面內(nèi)與定點(diǎn)A（-3，0）和B（3，0）的距離之差等于4的點(diǎn)的軌跡為；

②點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M點(diǎn)A的坐標(biāo)是A（3，6），則的最小值是6；

③平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓；

④若過(guò)點(diǎn)C（1，1）的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B，且C是AB的中點(diǎn)，則直線的方程是．

⑤已知P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是

其中真命題的序號(hào)是______．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

【答案】②④⑤

【解析】

由雙曲線的定理可判定①；由拋物線的定義和三點(diǎn)共線取得最小值，可判定②；由時(shí)為兩個(gè)定點(diǎn)連線的垂直平分線，可判定③；由點(diǎn)差法和直線的斜率公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式判定④；由拋物線的定義和三點(diǎn)共線取得最小值，可判定⑤，得到答案.

由題意，①中，平面內(nèi)與定點(diǎn)和的距離之差等于4，根據(jù)雙曲線的定義可得軌跡為雙曲線的右支，且，即方程為，所以是錯(cuò)誤的；

②中，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為M點(diǎn)，且，由于點(diǎn)A在拋物線開(kāi)口之外，拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，則，

由點(diǎn)A、P、F三點(diǎn)共線可得取得最小值，所以是正確的；

③中，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于的點(diǎn)的軌跡不一定是圓，若，此時(shí)為兩個(gè)定點(diǎn)的垂直平分線，所以是錯(cuò)誤的；

④中，若過(guò)點(diǎn)的直線角橢圓于不同的兩點(diǎn)A、B，且C是AB的中點(diǎn)，可得C在橢圓的內(nèi)部，設(shè)，可得，兩式相減可得，由于，

所以，則直線的方程為，所以是正確的；

⑤已知P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由拋物線的定義可得P到準(zhǔn)線的距離即為P到焦點(diǎn)的距離，

又由的最小值即為到圓心的距離減半徑1，即有最小值為，

則點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為，所以是正確的，

所以正確命題的序號(hào)為②④⑤.