Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A、B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

解：(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)
故可設C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
則圓C的半徑為＝3.
所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標滿足方程組
消去y，得到方程
2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2>0.從而
x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以
2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①，②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1.

解析