Question

（ 10分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點．
（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；
（II）在軸上是否存在定點，使·為常數？若存在，求出點的坐標；
若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：由條件知，，設，．
解法一：（I）設，則，，
，由得
即 于是的中點坐標為．
當不與軸垂直時，，即．
又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即．
將代入上式，化簡得．
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
所以點的軌跡方程是．
（II）假設在軸上存在定點，使為常數．
當不與軸垂直時，設直線的方程是．
代入有．
則是上述方程的兩個實根，所以，，
于是


．
因為是與無關的常數，所以，即，此時=．
當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，，
此時．
故在軸上存在定點，使為常數．

略