證明：函數(shù)f（x）=-2x2+1是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是減少的．
證明：函數(shù)f（x）的定義域為R，
對于任意的x∈R，都有f（-x）=-2（-x）2+1=-2x2+1=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
在區(qū)間[0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，則有
f（x1）-f（x2）=(-2x12+1)-(-2x22+1)=2(x22-x12)=2（x2+x1）（x2-x1），
∵x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1+x2＞0，
即2（x2-x1）•（x1+x2）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在[0，+∞）上是減少的．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=1-
4
2ax+a
（a＞0且a≠1）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．
（1）求a的值
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性（不用證明），并解關于t的不等式f（1-t）+f（3-2t）＜0．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，則不等式f(2x-1)＜f(
1
3
)的解集是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（1）判斷函數(shù)f（x）=
2x-1
x-1
在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義法給出證明；
（2）判斷函數(shù)g（x）=x3+
1
x
的奇偶性，并用定義法給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

函數(shù)y=
1-x2
|x+1|+|x-2|
是 ______（填奇函數(shù)，偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，奇函數(shù)又是偶函數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R）
（1）若f（-1）=0，且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，求實數(shù)a、b的值；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若f（x）≤m2-2am+2對所有x∈[-1，
2
-1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（-∞，0]上為減函數(shù)，且f（4）=0，則使得xf（x）＜0的x的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（1）設x，y為正數(shù)，求(x+y)(
1
x
+
4
y
)的最小值，并寫出取得最小值的條件．
（2）設a＞b＞c，若
1
a-b
+
1
b-c
≥
n
a-c
恒成立，求n的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2-x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x+3）關于直線x=1對稱，則函數(shù)f（x）的最小正周期為（　　）
A．4B．8C．12D．16

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