Question

已知函數(shù)為奇函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的解析式；
（2）當時，不等式在上恒成立，求實數(shù)的最小值；
（3）當時，求證：函數(shù)在上至多有一個零點.

Answer 1

（1）；（2） （3）見解析

解析試題分析：（1）由函數(shù)為奇函數(shù),得恒成立,可求的值；
由，從而可得函數(shù)的解析式；
（2）當時，可判斷其在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，最大值為，要使不等式在上恒成立，只要不小于函數(shù)在區(qū)間區(qū)間上的最大值即可；
（3）當時，，要證在上至多有一個零點，
只要證在上是單調(diào)函數(shù)即可,對此可用函數(shù)單調(diào)性的定義來解決.
試題解析：解:（1）∵函數(shù)為奇函數(shù)，
∴，即，
∴，                             2分
又，
∴
∴函數(shù)的解析式為.                4分
（2），.
∵函數(shù)在均單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在單調(diào)遞增，                      6分
∴當時，．                  7分
∵不等式在上恒成立，
∴，
∴實數(shù)的最小值為．                        9分
（3）證明：，
設(shè)，

          11分
∵，
∴
∵，即，
∴，又，
∴，即
∴函數(shù)在單調(diào)遞減，                    13分
又，結(jié)合函數(shù)圖像知函數(shù)在上至多有一個零點.     14分
考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的單調(diào)性；3、函數(shù)的最值.