Question

已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求的極值；
（3）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，將代入，先得到的解析式，對(duì)求導(dǎo)，將代入中，得到切線的斜率，將代入到中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；第二問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，在定義域內(nèi)，利用為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的極值點(diǎn)位置；第三問(wèn)，結(jié)合第二問(wèn)的結(jié)論，討論與的大小，分和兩種情況，通過(guò)判斷的單調(diào)性最值，畫出的簡(jiǎn)圖，看與是否有公共點(diǎn)，從而求出a的取值范圍.
試題解析：（1），且．
又，．
在點(diǎn)處的切線方程為：，
即．4分
（2）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ce/b/1u5mc3.png" style="vertical-align:middle;" />，，令得．
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；
在處取得極大值，即．8分
（3）（i）當(dāng)，即時(shí)，
由（Ⅱ）知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，即．
又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，的圖像與的圖像在上有公共點(diǎn)，
等價(jià)于，解得，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c5/7/xq0ow.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
（ii）當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，
在上的最大值為，
原問(wèn)題等價(jià)于，解得