Question

（本題滿分10分，其中第1小題5分，第二小題5分）

規(guī)定含污物體的清潔度為：�，F(xiàn)對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度為0.8，要求洗完后的清潔度是0.99。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?i>a（1≤a≤3）。設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是（），用y質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中c（）是該物體初次清洗后的清潔度。

（Ⅰ）分別求出方案甲以及時方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；

（Ⅱ）若采用方案乙，當(dāng)a為某定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最少？并討論a取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)方案甲用水量為，由題設(shè)有，解得。

設(shè)方案乙的總用水量為，其中第一次、第二次用水量分別為、。

由，解得方案乙初次用水量，

由，解得第二次水量，故。

因?yàn)楫?dāng)時，有，故方案乙的用水量較少。

（Ⅱ）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，

由，得；由，解得。

于是

當(dāng)a為定值時，，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。

此時，（不合題意，舍去）或∈(0.8，0.99)。

將代入（*）式得，。

故時總用水量最少，為。

設(shè)。

∴T(a)在[1，3]上是增函數(shù)，∴隨著a的增大，最少總用水量增大。▋