Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）對函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)，然后分別討論當(dāng)時和當(dāng)時的情況即可求得結(jié)果；（2）構(gòu)造函數(shù)，求的導(dǎo)數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，設(shè)為，分析可得，且，最后構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?/span>，由其單調(diào)性可得，根據(jù)是增函數(shù)，從而有，解之即可得到答案.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

①當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，得，又因?yàn)?/span>是增函數(shù)；

所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)?/span>，恒成立，

所以等價于 恒成立，

令，定義域，則，

令，則，所以是增函數(shù)，

因?yàn)?/span>，，時，，

所以有且只有一個根，設(shè)為，則，

則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，則，

令，則，

又因?yàn)?/span>，所以，則，解得，

綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.