Question

（14分）已知：圓C：x²＋（y－a）²＝a²（a＞0），動(dòng)點(diǎn)A在x軸上方，圓A與x軸相切，且與圓C外切于點(diǎn)M

    （1）若動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為曲線E，求曲線E的方程；

    （2）動(dòng)點(diǎn)B也在x軸上方，且A，B分別在y軸兩側(cè)．圓B與x軸相切，且與圓C外切于點(diǎn)N．若圓A，圓C，圓B的半徑成等比數(shù)列，求證：A，C，B三點(diǎn)共線；

    （3）在（2）的條件下，過A，B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，兩切線相交于點(diǎn)T，若的最小值為2，求直線AB的方程．

 

Answer 1

【答案】

 

 (1) 曲線的方程為 ；(2)見解析；(3)直線的方程為：.

【解析】本試題主要是考查了圓錐曲線的方程的求解，以及斜率公式和韋達(dá)定理以及三角形的面積公式的綜合運(yùn)用。

（1）利用設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到關(guān)于該點(diǎn)的幾何關(guān)系是，代數(shù)化，得到結(jié)論。

（2）要證明三點(diǎn)共線，只要證明任何兩點(diǎn)的斜率相同即可，結(jié)合坐標(biāo)表示和題目中得到結(jié)論

（3）由(2)知三點(diǎn)共線，且直線有斜率，設(shè)直線：，聯(lián)立得：.結(jié)合韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距公式和三角形面積公式得到參數(shù)的最值，進(jìn)而得直線到方程。

解：(1)設(shè)則，   

 曲線的方程為……………3分

 (2) 同(1)知，動(dòng)點(diǎn)軌跡也為曲線:…………..4分

設(shè)不妨令

由已知得，即…………….. 6分

即三點(diǎn)共線……………………..8分

(3)由(2)知三點(diǎn)共線，且直線有斜率，設(shè)直線：，聯(lián)立得：.

由題意，為切點(diǎn)，設(shè)，不妨令

則： ………………9分

直線，即  ①

同理， 直線：  ②，

由①②解得，

即：…………..11分

到直線的距離

令……12分

令則

      時(shí)，

     此時(shí)，直線的方程為：…………………………………..14分