Question

如圖，已知定圓C：x²+（y-3）²=4，定直線m：x+3y+6=0，過A（-1，0）的一條動直線l與直線相交于N，與圓C相交于P，Q兩點，M是PQ中點．
（Ⅰ）當(dāng)l與m垂直時，求證：l過圓心C；
（Ⅱ）當(dāng)|PQ|=2

3

時，求直線l的方程；
（Ⅲ）設(shè)t=

AM

•

AN

，試問t是否為定值，若為定值，請求出t的值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知，容易寫出直線l的方程為y=3（x+1）．將圓心C（0，3）代入方程易知l過圓心C．
（Ⅱ）過A（-1，0）的一條動直線l．應(yīng)當(dāng)分為斜率存在和不存在兩種情況；當(dāng)直線l與x軸垂直時，進(jìn)行驗證．當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），由于弦長|PQ|=2

3

，利用垂徑定理，則圓心C到弦的距離|CM|=1．從而解得斜率K來得出直線l的方程為．
（Ⅲ）同樣，當(dāng)l與x軸垂直時，要對設(shè)t=

AM

•

AN

，進(jìn)行驗證．當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入圓的方程得到一個二次方程．充分利用“兩根之和”和“兩根之積”去找

AM

．再用兩根直線方程聯(lián)立，去找

AN

．從而確定t=

AM

•

AN

的代數(shù)表達(dá)式，再討論t是否為定值．

解答：解：（Ⅰ）由已知km=-

1

3

，故k_l=3，
所以直線l的方程為y=3（x+1）．
將圓心C（0，3）代入方程易知l過圓心C．（3分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知x=-1符合題意；（4分）
當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），由于|PQ|=2

3

，
所以|CM|=1．由|CM|=

|-k+3|

k2+1

=1，解得k=

4

3

．
故直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0．（8分）
（Ⅲ）當(dāng)l與x軸垂直時，易得M（-1，3），N(-1，-

5

3

)，
又A（-1，0）則

AM

=(0，3)，

AN

=(0，-

5

3

)，故

AM

•

AN

=-5．即t=-5．（10分）
當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入圓的方程得（1+k²）x²+（2k²-6k）x+k²-6k+5=0．
則xM=

x1+x2

2

=

-k2+3k

1+k2

，yM=k(xM+1)=

3k2+k

1+k2

，
即M(

-k2+3k

1+k2

，

3k2+k

1+k2

)，

AM

=(

3k+1

1+k2

，

3k2+k

1+k2

)．
又由

y=k(x+1) x+3y+6=0

得N(

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

)，
則

AN

=(

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

)．
故t=

AM

•

AN

=

-15k-5

(1+k2)(1+3k)

+

-5k(3k2+k)

(1+k2)(1+3k)

=

-5(1+3k)(1+k2)

(1+3k)(1+k2)

=-5．
綜上，t的值為定值，且t=-5．（14分）
另解一：連接CA，延長交m于點R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，
故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．
由|AC|=

10

，|AR|=

5

10

，得|AM|•|AN|=5．
故t=

AM

•

AN

=-|

AM

|•|

AN

|=-5.（14分）
另解二：連接CA并延長交直線m于點B，連接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，
所以四點M，C，N，B都在以CN為直徑的圓上，
由相交弦定理得t=

AM

•

AN

=-|AM|•|AN|=-|AC|•|AB|=-5．（14分）

點評：（1）用直線方程時，一定要注意分為斜率存在和不存在兩種情況．一般是驗證特殊，求解一般．
（2）解決直線與圓相交弦相關(guān)計算時一般采用垂徑定理求解．
（3）涉及到直線和圓、圓錐曲線問題時，常常將直線代入曲線方程得到一個一元二次方程，再充分利用“兩根之和”和“兩根之積”整體求解．這種方法通常叫做“設(shè)而不求”．