Question

某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．
(1) 求出，并猜測(cè)的表達(dá)式；
(2) 求證：＋＋＋…＋．

Answer 1

(1) f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝25＋4×4＝41. f(n)＝2n²－2n＋1.
(2)略

本試題主要是考查了數(shù)列的歸納猜想思想的運(yùn)用，根據(jù)前幾項(xiàng)。來(lái)猜想并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。
（1）結(jié)合題目中的 遞推關(guān)系式可知前幾項(xiàng)的值，并猜想結(jié)論。
（2）分為兩步驟進(jìn)行，先證明n取第一個(gè)值時(shí)成立，再假設(shè)n=k時(shí)成立，證明n=k+1時(shí)也成立即可。
解析：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式規(guī)律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…
f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n²－2n＋1(n≥2)，又n＝1時(shí)，f(1)也適合f(n)．∴f(n)＝2n²－2n＋1.
(3)當(dāng)n≥2時(shí)，＝＝，
∴＋＋＋…＋＝1＋
＝1＋＝－.