Question

如圖，過點（0，a³）的兩直線與拋物線y=-ax²相切于A、B兩點，AD、BC垂直于直線y=-8，垂足分別為D、C．
（1）若a=1，求矩形ABCD面積；
（2）若a∈（0，2），求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線與曲線的切點，求出導(dǎo)數(shù)后寫出切線方程的點斜式，把已知點（0，a³）代入切線方程，求出兩個切點的橫坐標，從而得到矩形ABCD的長和寬，則面積即可用含a的代數(shù)式表示，把a=1代入后可求矩形面積；
（2）對（1）中求出的面積表達式求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判出函數(shù)在（0，2）上的單調(diào)性，求出函數(shù)在（0，2）上的極值，則最值可求．

解答：解：（1）設(shè)切點為（x₀，y₀），則y0=-ax02，
因為y'=-2ax，所以切線方程為y-y₀=-2ax₀（x-x₀），即y+ax02=-2ax0(x-x0)，
因為切線過點（0，a³），所以a3+ax02=-2ax0(0-x0)，即a3=ax02，于是x₀=±a．
將x₀=±a代入y0=-ax02得y0=-a3．
所以AB=2a，BC=8-a³，所以矩形ABCD面積為S=16a-2a⁴，
當(dāng)a=1時，矩形ABCD的面積S=16×1-2×1⁴=14；
（2）由（1）得：矩形ABCD面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2），
則S'=16-8a³=8（2-a³）．
所以當(dāng)0＜a＜

3	2

時，S'＞0；當(dāng)

3	2

＜a＜2時，S'＜0；
故當(dāng)a=

3	2

時，S有最大值為S=16×

3	2

-2×(

3	2

)4=12

3	2

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點的切線方程，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是中檔題．