Question

如圖，過(guò)點(diǎn)（0，a³）（0＜a＜2）的兩直線與拋物線y=-ax²相切于A，B兩點(diǎn)，AD，BC垂直于直線y=-8，垂足分別為D、C，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則y=-ax²，把點(diǎn)（0，a³）代入切線方程求得x=±a，y=-a³，可得AB=2a，BC=8-a³，所以矩形面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2 ），由S'=16-8a³，可得當(dāng)時(shí)，S有最大值為．
解答：解：設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則y=-ax²．
因?yàn)閥'=-2ax，所以切線方程為y-y=-2ax（x-x），即y+ax²=-2ax（x-x），---（2分）
因?yàn)榍芯�過(guò)點(diǎn)（0，a³），所以a³+ax²=-2ax（0-x），即a³=ax²，于是x=±a．-----（2分）
將代入 y=-ax² 得，y=-a³．-----（2分）
（若設(shè)切線方程為y=kx+a³，代入拋物線方程后由△=0得到切點(diǎn)坐標(biāo)，亦予認(rèn)可．）
所以AB=2a，BC=8-a³，所以矩形面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2）．----（3分）
于是S'=16-8a³．所以當(dāng)時(shí)，S'＞0；當(dāng)時(shí)，S'＜0；
故當(dāng)時(shí)，S有最大值為．----（3分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值．