【題目】平面直角坐標系中有16個格點(i,j),其中0≤i≤3,0≤j≤3.若在這16個點中任取n個點,這n個點中總存在4個點,這4個點是一個正方形的頂點,求n的最小值.
【答案】11.
【解析】
分兩步來證明:先找到10個點,它們中的任意四點不能構成正方形的頂點,再根據(jù)抽屜原理證明任意的11個點,一定存在4個點為正方形的四個頂點.
存在下面的10點即:
點(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,1),(0,2),(3,2),(0,3),(1,3),(3,3),
其中任意4個點不能構成正方形的頂點,故.
下證:任意11點中,一定存在4個點為正方形的四個頂點.
因為共取11個點,分兩種情況討論:
(1)有一行有4個點(設為),則余下三行共有7個點,
由抽屜原理知余下三行中必有一行至少有3個點(設為),
因,分布在兩行,
若該兩行相鄰或中間隔一行,則存在四個點,它們?yōu)檎叫蔚乃膫頂點;
若該兩行間隔兩行,如圖,不妨設為線段上的格點,為線段上的格點,對應的點的坐標為,
余下4個點分布在中間兩行,若線段上有兩個整點,則它們和中的兩點構成正方形的頂點,否則線段上至少有3個點,則其中必有兩個格點與中的兩點構成正方形的頂點.
(2)任意一行都沒有4個點,則各行的格點數(shù)分別為,故4行中必有相鄰兩行各有3個格點,這6個格點中必存在4個格點,它們構成正方形的頂點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著疫情的有效控制,人們的生產生活逐漸向正常秩序恢復,位于我區(qū)的某著名賞花園區(qū)重新開放.據(jù)統(tǒng)計硏究,近期每天賞花的人數(shù)大致符合以下數(shù)學模型.以表示第個時刻進入園區(qū)的人數(shù),以表示第個時刻離開園區(qū)的人數(shù),設定每15分鐘為一個計算單位,上午8點15分作為第1個計算人數(shù)單位,即點30分作為第2個計算單位,即:依次類推,把一天內從上午8點到下午5點分成36個計算單位(最后結果四舍五入,精確到整數(shù))
(1)試分別計算當天12:30至13:30這一小時內,進入園區(qū)的人數(shù)和離開園區(qū)的游客人數(shù).
(2)請問,從12點(即)開始,園區(qū)內總人數(shù)何時達到最多?并說明理由
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2020年初,一場新冠肺炎疫情突如其來,在黨中央強有力的領導下,全國各地的醫(yī)務工作者迅速馳援湖北,以大無畏的精神沖在了抗擊疫情的第一線,迅速控制住疫情.但國外疫情嚴峻,輸入性病例逐漸增多,為了鞏固我國的抗疫成果,保護國家和人民群眾的生命安全,我國三家生物高科技公司各自組成A、B、C三個科研團隊進行加急疫苗研究,其研究方向分別是滅活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗,根據(jù)這三家的科技實力和組成的團隊成員,專家預測這A、B、C三個團隊未來六個月中研究出合格疫苗并用于臨床接種的概率分別為,,,且三個團隊是否研究出合格疫苗相互獨立.
(1)求六個月后A,B兩個團隊恰有一個研究出合格疫苗并用于臨床接種的概率;
(2)設六個月后研究出合格疫苗并用于臨床接種的團隊個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l:和橢圓:相交于點,
(1)當直線l過橢圓的左焦點和上頂點時,求直線l的方程
(2)點在上,若,求面積的最大值:
(3)如果原點O到直線l的距離是,證明:為直角三角形.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某地有一塊半徑為R的扇形AOB公園,其中O為扇形所在圓的圓心,AOB=,OA,OB,為公園原有道路.為滿足市民觀賞和健身的需要,市政部門擬在上選取一點M,新建道路OM及與OA平行的道路MN(點N在線段OB上),設AOM=.
(1)如何設計,才能使市民從點O出發(fā)沿道路OM,MN行走至點N所經過的路徑最長?請說明理由;
(2)如何設計,才能使市民從點A出發(fā)沿道路,MN行走至點N所經過的路徑最長?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左、右焦點分別為、,,是軸的正半軸上一點,交橢圓于,且,的內切圓半徑為1.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線和圓相切,且與橢圓交于、兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下表是某原料在市場上從2013年至2019年這7年中每年的平均價格(單位:千元/噸)數(shù)據(jù):
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
平均價格 (單位:千元/噸) |
(
(2)以(1)的結論為依據(jù),預測2032年該原料價格.預估該原料價格在哪一年突破1萬元/噸?
參考數(shù)據(jù):,,,
參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列滿足,且存在常數(shù),使得對任意的都有,則稱數(shù)列為“k控數(shù)列”.
(1)若公差為d的等差數(shù)列是“2控數(shù)列”,求d的取值范圍;
(2)已知公比為的等比數(shù)列的前n項和為,數(shù)列與都是“k控數(shù)列”,求q的取值范圍(用k表示).
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