【題目】已知函數(shù),(其中是自然對數(shù)的底數(shù)),
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)記
①當時,試判斷的導函數(shù)的零點個數(shù);
②求證:時,
【答案】(1) 的單調減區(qū)間為,的單調增區(qū)間為.
(2)①存在唯一零點,②證明見解析.
【解析】
(1)求出,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)①,當時, 在上單調遞增,又,可證明存在滿足且時,,從而可得結論;②由①知,可設在上存在唯一零點為,,即,,
將,代入上式,利用基本不等式可得結論.
(1),其定義域為,
由,令得,
令得,
∴的單調減區(qū)間為,的單調增區(qū)間為
(2)①解:由
∴,
當時,在上單調遞增,在上單調遞增.
∴在上單調遞增.
又
假設存在滿足且時,
∴當時在上存在唯一零點.
②由①知,可設在上存在唯一零點為,
∴,即
兩邊取自然對數(shù)得,,
又當時,,在上是減函數(shù);
時,,在上是增函數(shù),
∴,
將,代入上式得,
當且僅當時等號成立.所以當時,
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E為棱AD的中點,異面直線PA與CD所成的角為90°.
(1)在平面PAB內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.
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【題目】下列說法:①設有一個回歸方程,變量增加一個單位時,平均增加個單位;②線性回歸直線必過必過點;③在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中,從獨立性檢驗知,有的把握認為吸煙與患肺病有關系時,我們說某人吸煙,那么他有的可能患肺。黄渲绣e誤的個數(shù)是( )
A. B. C. D.
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【題目】某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費用萬元滿足 (其中,為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品還需投入成本萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為元/件
(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù);(注:利潤=銷售收入-促銷費-投入成本)
(2)當促銷費用投入多少萬元時,該公司的利潤最大?
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【題目】已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.
(1)求最后取出的是正品的概率;
(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元,設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求的分布列和數(shù)學期望
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【題目】(12分)已知函數(shù)f(x)=
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上的單調性,并用定義證明你的結論.
(2)求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx,a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)當x∈(0,e]時,求g(x)=e2x﹣lnx的最小值;
(3)當x∈(0,e]時,證明:e2x﹣lnx﹣ > .
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【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:
未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | [0,0.1) | [0.1,0.2) | [0.2,0.3) | [0.3,0.4) | [0.4,0.5) | [0.5,0.6) | [0.6,0.7) |
頻數(shù) | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | [0,0.1) | [0.1,0.2) | [0.2,0.3) | [0.3,0.4) | [0.4,0.5) | [0.5,0.6) |
頻數(shù) | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
⑴在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭
⑵估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率;
⑶估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.)
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