如圖，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一點，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，.

（1）證明：；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值.

（1）見解析(2)

解析試題分析：
(1)要證明直線PA垂直BO,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)只需要證明BO垂直于PA所在的面PAD即可,首先O是點P在面ABCD上的投影,則有PO垂直于面ABCD,即有BO與PO垂直,三角形ABO的三條邊已知,則利用三角形的勾股定理即可證明BO垂直于AD,即有BO垂直于面PAD內(nèi)兩條相交的直線,則BO垂直于面PAD,故有BO垂直于PA.
(2)根據(jù)(1)利用AD,PO,BO兩兩垂直,即可分別設為x,y,z軸建立三維直角坐標系,利用坐標法來求解二面角,即分別求出面ABP與面BPD的法向量,法向量的夾角即為二面角或其補角,根據(jù)觀察不能發(fā)現(xiàn)該二面角是鈍角,則利用向量內(nèi)積的定義即可求出該二面角的余弦值.
試題解析：
（1）在中，，
則，∴⊥.
∵⊥平面，∴⊥.
又平面，平面，且，
∴⊥平面.
又平面，∴⊥.   6分

（2）由題知，以為坐標原點，為軸，
建立如圖空間直角坐標系.
由已知，，∴.
因為等腰梯形，，，
所以，∴，，
，，    8分
所以，，
，.
設平面的法向量為，則，
令，故，即.
設平面的法向量為，
則，
令，∴，即.
故，
設二面角的大小為，由圖可知是鈍角，
所以二面角的余弦值為.    12分
考點：坐標法線線垂直線面垂直法向量

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E、F、G分別是AB、AD、CD的中點，計算：

(1)·；
(2)·；
(3)EG的長；
(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，底面，，，分別是棱，的中點，為棱上的一點，且//平面.
（1）求的值；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，直線平面，且
，又點，，分別是線段，，的中點，且點是線段上的動點．
證明：直線平面；
(2) 若，求二面角的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點．

（1）設與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；
（2）在線段上是否存在一點（與兩點不重合），使得∥平面? 若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，直線平面，且
，又點，，分別是線段，，的中點，且點是線段上的動點.

(1)證明：直線平面；
(2)若，求二面角的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如下圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都
是矩形，是的中點，，.
（1）求證：
（2）求證：平面；
（3）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱錐中，，，，點在平面內(nèi)的射影恰為的重心，M為側(cè)棱上一動點．

（1）求證：平面平面；
（2）當M為的中點時，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖幾何體中，四邊形為矩形，，，，，.

（1）若為的中點，證明：面；
（2）求二面角的余弦值.

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