【題目】已知橢圓中心在坐標原點,焦點在軸上,且過,直線與橢圓交于,兩點(,兩點不是左右頂點),若直線的斜率為時,弦的中點在直線上.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)若以,兩點為直徑的圓過橢圓的右頂點,則直線是否經(jīng)過定點,若是,求出定點坐標,若不是,請說明理由.
【答案】(1) 橢圓的方程為:;(2)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)斜率公式以及中點坐標公式得,,再由橢圓的標準方程利用點差法得,因此可得,最后與在橢圓上聯(lián)立方程組解得,(2)根據(jù)以,兩點為直徑的圓過橢圓的右頂點,得,設直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理代入化簡得,解得或,即得定點,最后驗證斜率不存在的情形也滿足.
(Ⅰ)設橢圓的標準方程為,,
由題意直線的斜率為,弦的中點在直線上,得,,
再根據(jù)作差變形得 ,所以,又因為橢圓過得到,
所以橢圓的方程為:.
(Ⅱ)由題意可得橢圓右頂點,
⑴當直線的斜率不存在時,設直線的方程為,此時要使以,兩點為直徑的圓過橢圓的右頂點則有以解得或(舍)此時直線為
⑵當直線的斜率存在時,設直線的方程為,則有,
化簡得①
聯(lián)立直線和橢圓方程得,
, ②
把②代入①得
即
,得或此時直線過或(舍)
綜上所述直線過定點.
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【題目】如圖所示的幾何體,底面ABFE是邊長為2的正方形,DE與CF均垂直于平面ABFE,且.
(1)證明:BE∥平面ACD;
(2)求三棱錐B﹣ACD的體積.
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【題目】設集合,若是的子集,把中的所有數(shù)的和稱為的“容量”(規(guī)定空集的容量為0),若的容量為奇(偶)數(shù),則稱為的奇(偶)子集,命題①:的奇子集與偶子集個數(shù)相等;命題②:當時,的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等,則下列說法正確的是( )
A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立
C.命題①成立,命題②不成立D.命題①不成立,命題②成立
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【題目】設函數(shù),其中,.
(1)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)僅在處有極值,求的取值范圍;
(3)若對于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍.
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【題目】設函數(shù),若曲線在點 處的切線方程為.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求證:在曲線上任意一點處的切線與直線和所圍成的三角形面積為定值,并求出此定值.
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【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,bsinA=cosB.
(1)求角B的大;
(2)若b=2,△ABC的面積為,求a,c.
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【題目】若數(shù)列對任意滿足,下面給出關于數(shù)列的四個命題:①可以是等差數(shù)列,②可以是等比數(shù)列;③可以既是等差又是等比數(shù)列;④可以既不是等差又不是等比數(shù)列;則上述命題中,正確的個數(shù)為( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】(江淮十校2017屆高三第一次聯(lián)考文數(shù)試題第7題)《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作,其中《方田》章計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為:弧田面積=1/2(弦矢+矢2).弧田(如圖),由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為,半徑等于4米的弧田.按照上述方法計算出弧田的面積約為( )
A. 6平方米 B. 9平方米 C. 12平方米 D. 15平方米
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