Question

已知

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cos（x+

π

3

），1）函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最值和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，f（A）=0，a=

3

，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則，計算出

a

•

b

，然后利用兩角和的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并后，提取2，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，確定出f（x）的解析式，由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍，即為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用f（A）=0求出A的值，利用余弦定理以及基本不等式求出bc的最大值，然后求解三角形面積的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=sinx（

1

2

cosx-

3

2

sinx）+

3

4

=

1

4

sin2x+

3

4

cos2x
=

1

2

sin(2x+

π

3

)
∴當2x+

π

3

=

π

2

時，函數(shù)取得最大值，fmax(x)=

1

2

，
當2x+

π

3

=-

π

2

時，函數(shù)取得最小值，fmin(x)=-

1

2

．
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
解得x∈[

π

12

+kπ，

7

12

π+kπ]，k∈Z．
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間：x∈[

π

12

+kπ，

7

12

π+kπ]，k∈Z．
（2）∵f（A）=0，∴

1

2

sin(2A+

π

3

)=0，2A+

π

3

=kπ，A=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
又A是三角形的內(nèi)角，∴k=1，
∴A=

π

3

，
又a=

3

，由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，⇒b²+c²-bc=3，
∵b²+c²≥2bc，∴bc≤3，
S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

3 3

4

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的運算法則，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．