(2013•長春一模)已知函數(shù)f(x)=ex(ax2-2x-2),a∈R且a≠0.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線垂直于y軸,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(|sinx|)的最小值.
分析:(1)欲求實(shí)數(shù)a的值,只須求出切線斜率的值列出關(guān)于a的等式即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率,最后利用斜率為0即可求得a;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論a的取值范圍,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的最小值.
解答:解:由題意得:f'(x)=(ex)'•(ax2-2x-2)+ex•(ax2-2x-2)'
=ex(ax2-2x-2)+ex(2ax-2)=aex(x-
2
a
)(x+2)
;(3分)
(1)由曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線垂直于y軸,
結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'(2)=0,
a•e2•(2-
2
a
)(2+2)
=4ae2
2a-2
a
=0

解得a=1;(6分)
(2)設(shè)|sinx|=t(0≤t≤1),
則只需求當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=f(t)(0≤t≤1)的最小值.
令f'(x)=0,解得x=
2
a
或x=-2,而a>0,即
2
a
>-2

從而函數(shù)f(x)在(-∞,-2)和(
2
a
,+∞)
上單調(diào)遞增,在(-2,
2
a
)
上單調(diào)遞減.
當(dāng)
2
a
≥1
時(shí),即0<a≤2時(shí),函數(shù)f(x)在[0,1]上為減函數(shù),ymin=f(1)=(a-4)e;
當(dāng)0<
2
a
<1
,即 a>2時(shí),函數(shù)f(x)的極小值,
即為其在區(qū)間[0,1]上的最小值,ymin=f(
2
a
)=-2e
2
a

綜上可知,當(dāng)0<a≤2時(shí),函數(shù)f(|sinx|)的最小值為(a-4)e;
當(dāng)a>2時(shí),函數(shù)f(|sinx|)的最小值為-2e
2
a
.(12分)
點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識,具體涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義,用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等,考查學(xué)生解決問題的綜合能力.
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2
x
+
1
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=1
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 x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,右焦點(diǎn)到直線x+y+
6
=0
的距離為2
3
,過M(0,-1)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 若直線l交x軸于N,
NA
=-
7
5
NB
,求直線l的方程.

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604
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