Question

在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若bcosC=（2a-c）cosB
（Ⅰ）求∠B的大小
（Ⅱ）若b=

7

、a+c=4，求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R解出a、b、c代入到已知條件中，利用兩角和的正弦函數(shù)的公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)，得到cosB的值，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求出B即可；
（Ⅱ）要求三角形的面積，由三角形的面積公式S=

1

2

acsinB知道就是要求ac的積及sinB，由前一問的cosA的值利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA，可根據(jù)余弦定理及b=

7

、a+c=4可得到ac的值，即可求出三角形的面積．

解答：解（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）
又在三角形ABC中，sin（B+C）=sinA≠0
∴2sinAcosB=sinA，即cosB=

1

2

，得B=

π

3

（Ⅱ）∵b²=7=a²+c²-2accosB
∴7=a²+c²-ac
又∵（a+c）²=16=a²+c²+2ac
∴ac=3
∴S△ABC=

1

2

acsinB
即S△ABC=

1

2

•3•

3

2

=

3 3

4

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理解決數(shù)學(xué)問題的能力，以及會(huì)利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和的正弦函數(shù)的公式化簡(jiǎn)求值，本題是一道綜合題，要求學(xué)生掌握的知識(shí)要全面．