Question

已知點(diǎn)，，動點(diǎn)的軌跡曲線滿足，，過點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn).
(1)求的值，并寫出曲線的方程；
(2)求△面積的最大值.

Answer 1

(1)
(2)△面積的最大值為3，此時直線的方程為. 

試題分析：解：(1)設(shè)，在△中，，，根據(jù)余弦定理得.                （2分）
即.
.
而，所以. 
所以.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （4分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
又，
因此點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓（點(diǎn)在軸上也符合題意），
，.
所以曲線的方程為.                             　   （6分）
(2)設(shè)直線的方程為.
由，消去x并整理得.    ①
顯然方程①的,設(shè),,則
由韋達(dá)定理得，.                 （9分）
所以.
令，則，.
由于函數(shù)在上是增函數(shù).
所以，當(dāng)，即時取等號.
所以，即的最大值為3.
所以△面積的最大值為3，此時直線的方程為.           （12分）
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程，同時結(jié)合直線與橢圓方程來聯(lián)立方程組來求解最值，屬于基礎(chǔ)題。