Question

定義一種運算△：n△m=n•a^m（m，n∈N，a≠0）
（1）若數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足a_n=n△m，當m=2時，求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}（n∈N^*）的通項滿足c_n=n△（n-1），試求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（1）證明：由題意知當m=2時，a_n=n△m=a²•n，
則有a_n+1=a²•（n+1）   （2分）
故有a_n+1-a_n=a²，（n∈N^*），其中a₁=1△2=a²，（3分）
所以數(shù)列{a_n}是以a₁=a²為首項，公差d=a²的等差數(shù)列．（4分）

（2）依題意有，c_n=n△（n-1）=n•a^n-1，（n∈N^*），（5分）
所以，當a=1時，Sn=c1+c2++cn=1+2+3++n=

n(n+1)

2

；（7分）
當a≠1時，S_n=1•a⁰+2•a¹++（n-1）•a^n-2+n•a^n-1，（1）
所以aS_n=1•a¹+2•a²++（n-1）•a^n-1+n•aⁿ（2）（8分）
由（2）-（1）得：（1-a）S_n=1•a⁰+1•a¹++1•a^n-2+1•a^n-1-naⁿ（9分）
得：Sn=

1-an

(1-a)2

-

nan(1-a)

(1-a)2

=

nan+1-nan-an+1

(1-a)2

，（n∈N^*）（11分）
綜上所述，Sn=

nan+1-nan-an+1 (1-a)2 ，a≠1 n(n+1) 2 ，a=1

（14分）