Question

定義一種運(yùn)算^*，滿足n^*k=n•λ^k-1（n、k∈N⁺，λ是非零實(shí)常數(shù)）．
（1）對任意給定的k，設(shè)an=n*k(n=1，2，3，…)，求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求k=2時(shí)，該數(shù)列的前10項(xiàng)和；
（2）對任意給定的n，設(shè)bk=n*k(k=1，2，3，…)，求證：數(shù)列{b_k}是等比數(shù)列，并求出此時(shí)該數(shù)列的前10項(xiàng)和；
（3）設(shè)cn=n*n(n=1，2，3，…)，試求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，結(jié)合等差數(shù)列的定義可知結(jié)論成立，利用等差數(shù)列的求和公式，可求數(shù)列的前10項(xiàng)和；
（2）利用新定義，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知結(jié)論成立，利用等比數(shù)列的求和公式，可求數(shù)列的前10項(xiàng)和；
（3）確定數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：an=n*k=n•λk-1，an+1=(n+1)•λk-1，an+1-an=λk-1（k為任意給定的），
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
k=2時(shí)，公差為a_n+1-a_n=λ，首項(xiàng)為λ，前10項(xiàng)和S10=10λ+

10×9

2

λ=55λ．
（2）證明：bk=n•λk-1，bk+1=n•λk，

bk+1

bk

=λ，所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
當(dāng)λ=1時(shí)，S₁₀=10n；當(dāng)λ≠1時(shí)，首項(xiàng)為n，S10=

n(1-λ10)

1-λ

．
（3）解：cn=n•λn-1，當(dāng)λ=1時(shí)，c_n=n，Sn=

n(n+1)

2

；
當(dāng)λ≠1時(shí)，S_n=λ⁰+2λ+…+n•λ^n-1
∴λS_n=λ+2λ²+…+（n-1）•λ^n-1+n•λⁿ
兩式相減可得（1-λ）S_n=1+λ+λ²+…+λ^n-1-n•λⁿ=

1-λn

1-λ

-n•λⁿ，
∴S_n=

1-λn

(1-λ)2

-

nλn

1-λ

．

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的求和，正確理解新定義是關(guān)鍵．