Question

【題目】已知函數(shù)（， ）.

（1）若的圖象在點處的切線方程為，求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最大值為8，最小值為（2）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)切線方程為x+y﹣3=0利用導數(shù)的幾何意義求出a值，再研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值與最小值；

（2）由題意得：函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）不單調(diào)，所以函數(shù)f′（x）在（﹣1，1）上存在零點．再利用函數(shù)的零點的存在性定理得：f′（﹣1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范圍．

試題解析：

(1)最大值為8，最小值為；(2) .

（1）∵在上，∴，

∵點在的圖象上，∴，

又，∴，

∴，解得，

∴， ，

由可知和是的極值點.

∵， ， ， ，

∴在區(qū)間上的最大值為8，最小值為

（2）因為函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在上存在零點.

而的兩根為， ，

若， 都在上，則解集為空集，這種情況不存在；

若有一個根在區(qū)間上，則或，

∴