Question

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)P(3，

2

)的直線l，與x軸交于點(diǎn)F（2，0），如果一個(gè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)P，且以點(diǎn)F為它的一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）中求過點(diǎn)F（2，0）的弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

（1）設(shè)所求橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵點(diǎn)P(3，

2

)在橢圓上，且F（2，0）是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，
∴

a2=b2+4 9 a2 + 2 b2 =1

，解得

a2=12 b2=8

，
∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

12

+

y2

8

=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為M（x，y），
則可得

x12 12 + y12 8 =1 x22 12 + y22 8 =1

，兩式相減，整理得：

1

12

(x12-x22)=-

1

8

(y12-y22)．
①當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，可得

y1-y2

x1-x2

=-

8(x1+x2)

12(y1+y2)

=-

2

3

?

2x

2y

=-

2

3

?

x

y

；
又∵k_AB=k_MF=

y-0

x-2

，
∴-

2

3

?

x

y

=

y-0

x-2

，整理得2x²+3y²-4x=0；
②當(dāng)x₁=x₂時(shí)，AB中點(diǎn)為M（2，0），也滿足上述方程．
綜上所述，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：2x²+3y²-4x=0．