Question

【題目】如圖，E是以AB為直徑的半圓O上異于A、B的點，矩形ABCD所在的平面垂直于半圓O所在的平面，且AB=2AD=2.

（1）求證：；

（2）若異面直線AE和DC所成的角為，求平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1) 由面面垂直的性質可證得.再線面垂直的判定定理和性質定理可得證；

(2)以點為坐標原點，所在的直線為軸，過點與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系.由二面角的向量求解方法可求得平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值.

(1) ∵平面垂直于圓所在的平面，

兩平面的交線為平面，

∴垂直于圓所在的平面.又在圓所在的平面內，

∴.∵是直角，∴，

又，∴平面，

∴.

(2)如圖， 以點為坐標原點，所在的直線為軸，

過點與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系.

由異面直線和所成的角為，，

知，∴，

∴，由題設可知 ，，

∴，.

設平面的一個法向量為，

由，即

得，，取，得.

∴.又平面的一個法向量為，

∴.

平面與平面所成的銳二面角的余弦值.