Question

【題目】已知橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|=2，點（1，）在橢圓C上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且△AF2B的面積為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（x﹣1）2+y2=2．

【解析】試題分析：（Ⅰ）先設出橢圓的方程，根據題設中的焦距求得c和焦點坐標，根據點（1，）到兩焦點的距離求得a，進而根據b=求得b，得到橢圓的方程．

（Ⅱ）先看當直線l⊥x軸，求得A，B點的坐標進而求得△AF2B的面積與題意不符故排除，進而可設直線l的方程為：y=k（x+1）與橢圓方程聯立消y，設A（x1，y1），B（x2，y2），根據韋達定理可求得x1+x2和x1x2，進而根據表示出|AB|的距離和圓的半徑，求得k，最后求得圓的半徑，得到圓的方程．

解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，由題意可得：

橢圓C兩焦點坐標分別為F1（﹣1，0），F2（1，0）．

∴．

∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）當直線l⊥x軸，計算得到：

，，不符合題意．

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為：y=k（x+1），

由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0

顯然△＞0成立，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則，

又

即，

又圓F2的半徑，

所以，

化簡，得17k4+k2﹣18=0，

即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1

所以，，

故圓F2的方程為：（x﹣1）2+y2=2．