【題目】已知橢圓的焦距為,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和長(zhǎng)軸長(zhǎng);

（Ⅱ）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn), 為直線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交橢圓于,記分別為點(diǎn)和到直線的距離,證明.

【答案】（1）,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析： 由橢圓的性質(zhì)可知，即可求得的值，從而求得橢圓的方程和長(zhǎng)軸長(zhǎng)由求得直線的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得的中點(diǎn)，由，根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)可證明

解析：（Ⅰ）由題意可知,橢圓的焦點(diǎn)在軸上, ,

由,解得

所以橢圓的方程為,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,

則直線的斜率

當(dāng)時(shí),直線的斜率直線的方程是,

當(dāng)時(shí),直線的方程是,也符合的形式,

設(shè),將直線的方程與橢圓聯(lián)立,

由得,

,所以,，

設(shè)為線段的中點(diǎn),則點(diǎn)

所以直線的斜率

又直線的斜率,

所以點(diǎn)在直線上,

由三角形全等的判定和性質(zhì)可知:

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C： （a>b>0）的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn).A（-a，0），|AF|=3.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為M.直線OM與直線x=4交于點(diǎn)D，過(guò)O且平行于AP的直線與直線x=4交于點(diǎn)E.求證：∠ODF=∠OEF.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】節(jié)能減排以來(lái)，蘭州市100戶(hù)居民的月平均用電量單位：度，以分組的頻率分布直方圖如圖．

求直方圖中x的值；求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

估計(jì)用電量落在中的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某同學(xué)解答一道解析幾何題：“已知直線l：與x軸的交點(diǎn)為A，圓O：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．

（Ⅰ）求r的值；

（Ⅱ）若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線AB垂直于直線l，求．”

該同學(xué)解答過(guò)程如下：

解答：（Ⅰ）令，即，解得，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

因?yàn)閳AO：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>．所以直線AB的斜率為．

所以直線AB的方程為，即．

代入消去y整理得，

解得，．當(dāng)時(shí)，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

所以．

指出上述解答過(guò)程中的錯(cuò)誤之處，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnxx2，g（x）x2+x，m∈R，令F（x）＝f（x）+g（x）．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整數(shù)m的最小值；

（Ⅲ）若m＝﹣1，且正實(shí)數(shù)x1，x2滿足F（x1）＝﹣F（x2），求證：x1+x21．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某社會(huì)研究機(jī)構(gòu)，為了研究大學(xué)生的閱讀習(xí)慣，隨機(jī)調(diào)查某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)是否讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明，其中男女各一半，男生中有表示會(huì)讀，女生中有表示不會(huì)讀.

（1）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，得到如下2╳2列聯(lián)表：

男

女

總計(jì)

讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明

不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明

總計(jì)

（2）根據(jù)以上列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)系？

P(K2≥k)

0.10

0.025

0.010

0.005

k

2.706

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】由中央電視臺(tái)綜合頻道（）和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開(kāi)講啦》是中國(guó)首檔青年電視公開(kāi)課,每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對(duì)于生活和生命的感悟，給予中國(guó)青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問(wèn)題，同時(shí)也在討論青春中國(guó)的社會(huì)問(wèn)題，受到青年觀眾的喜愛(ài)，為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的喜愛(ài)程度，電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了兩個(gè)地區(qū)共100名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：

非常滿意

滿意

合計(jì)

合計(jì)

已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾是地區(qū)當(dāng)中“非常滿意”的觀眾的概率為0.35，且.

（1）現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿意”的地區(qū)的人數(shù)各是多少？

（2）在（1）抽取的“滿意”的觀眾中，隨機(jī)選出2人進(jìn)行座談，求至少有1名是地區(qū)觀眾的概率？

（3）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有90%的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系？

附:參考公式：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在上， 是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.

（1）求的值；

（2）在軸上是否存在一點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)時(shí)， 為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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