【題目】設(shè)橢圓C 的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合, 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),且離心率,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2),求直線l的方程;

(3)是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦, ,求證: 為定值.

【答案】(1) ;(2) y (x1)y=- (x1);(3)見(jiàn)解析

【解析】試題分析:(1)由題意,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1;(2設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k≠0)·x1x2y1y2=-2,利用韋達(dá)定理,解得答案;(3)|MN||x1x2|,|AB||x3x4|,代入韋達(dá)定理計(jì)算,得到答案。

試題解析:

(1)橢圓的頂點(diǎn)為(0,),即b,ea2,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.

(2)由題可知,直線l與橢圓必相交.

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)不合題意.

②當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k≠0),

M(x1y1),N(x2y2)

(34k2)x28k2x4k2120,x1x2,x1x2,

·x1x2y1y2x1x2k2[x1x2(x1x2)1]

k2

=-2,解得k±,

故直線l的方程為y (x1)y=- (x1)

(3)證明:設(shè)M(x1y1),N(x2,y2)A(x3,y3),B(x4y4),

(2)可得|MN||x1x2|

,

消去y并整理得x2,

|AB||x3x4|4,

4,為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:三棱錐中,側(cè)面垂直底面, 是底面最長(zhǎng)的邊;圖1是三棱錐的三視圖,其中的側(cè)視圖和俯視圖均為直角三角形;圖2是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的三棱錐的直觀圖的一部分,其中點(diǎn)平面內(nèi).

Ⅰ)請(qǐng)?jiān)趫D2中將三棱錐的直觀圖補(bǔ)充完整,并指出三棱錐的哪些面是直角三角形;

Ⅱ)設(shè)二面角的大小為,求的值;

求點(diǎn)到面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1-x)f′(x)的圖像如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是(  )

A. 函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B. 函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)

C. 函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2) D. 函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線 的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,三個(gè)點(diǎn), , 中恰有兩個(gè)點(diǎn)在上.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)的直線交 兩點(diǎn),點(diǎn)上任意一點(diǎn),證明:直線, 的斜率成等差數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,某大型景區(qū)有兩條直線型觀光路線, , ,點(diǎn)位于的平分線上,且與頂點(diǎn)相距1公里.現(xiàn)準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)安裝一直線型隔離網(wǎng) (分別在上),圍出三角形區(qū)域,且都不超過(guò)5公里.設(shè), (單位:公里).

(Ⅰ)求的關(guān)系式;

(Ⅱ)景區(qū)需要對(duì)兩個(gè)三角形區(qū)域 進(jìn)行綠化.經(jīng)測(cè)算, 區(qū)城每平方公里的綠化費(fèi)用是區(qū)域的兩倍,試確定的值,使得所需的總費(fèi)用最少.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】4月23日是“世界讀書(shū)日”,某中學(xué)在此期間開(kāi)展了一系列的讀書(shū)教育活動(dòng),為了解本校學(xué)生課外閱讀情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間(單位:min)的頻率分布直方圖,若將日均課外閱讀時(shí)間不低于60 min的學(xué)生稱為“書(shū)蟲(chóng)”,低于60 min的學(xué)生稱為“懶蟲(chóng)”,

(1)求x的值并估計(jì)全校3 000名學(xué)生中“書(shū)蟲(chóng)”大概有多少名學(xué)生?(將頻率視為概率)

(2)根據(jù)已知條件完成下面2×2的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“書(shū)蟲(chóng)”與性別有關(guān):

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為研究患肺癌與是否吸煙有關(guān),某腫瘤機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了40人做相關(guān)調(diào)查,其中不吸煙人數(shù)與吸煙人數(shù)相同,已知吸煙人數(shù)中,患肺癌與不患肺癌的比為;不吸煙的人數(shù)中,患肺癌與不患肺癌的比為.

(1)現(xiàn)從患肺癌的人中用分層抽樣的方法抽取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查,求這兩人都是吸煙患肺癌的概率;

(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為患肺癌與吸煙有關(guān)?

附: ,其中.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線 的右焦點(diǎn)為 ,右頂點(diǎn)為 ,( 為原點(diǎn))

(1)求雙曲線 的方程;

(2)若直線 與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn) ,且,求 的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn), ,且滿足,證明直線過(guò)軸上一定點(diǎn),并求出點(diǎn)的坐標(biāo).

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