Question

已知點P(x,y)是圓(x+2)²+y²=1上任意一點.

(1)求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值;

(2)求x-2y的最大值和最小值;

(3)求的最大值和最小值.

Answer 1

解析：(1)&(3)題中的目標(biāo)函數(shù)均有兩個變量x、y,因此可通過圓的參數(shù)方程化為一個變量的函數(shù),再求最值.?

運用數(shù)形結(jié)合的思想求解.第(1)題中,設(shè)圓心到直線的距離為d,則由圖可知,最大值為d+r,最小值為d-r.第(2)題中設(shè)t=x-2y,則當(dāng)直線與圓相切時,t分別取得最大值和最小值.第(3)題中,將看成圖上一點P(x,y)與定點(1,2)連線的斜率,因此當(dāng)直線y-2=k(x-1)與圓相切時取得最值.

解法一:圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).

∵P(x,y)在圓上,?

∴可設(shè)

(1)點P到直線3x+4y+12=0的距離為

∵|sin(θ-β)|≤1,

解法二:(1)圓心C(-2,0)到直線3x+4y+12=0的距離為

∴P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=

(2)設(shè)t=x-2y,則直線x-2y-t=0與圓(x-2)²+y²=1有公共點.?

(3)設(shè)則直線kx-y-k+2=0與圓(x-2)²+y²=1有公共點,