【題目】對于無窮數(shù)列,記,若數(shù)列滿足:“存在,使得只要(且),必有”,則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(Ⅰ)若數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)?是否具有性質(zhì)?
(Ⅱ)求證:“是有限集”是“數(shù)列具有性質(zhì)”的必要不充分條件;
(Ⅲ)已知是各項為正整數(shù)的數(shù)列,且既具有性質(zhì),又具有性質(zhì),求證:存在整數(shù),使得是等差數(shù)列.
【答案】(Ⅰ)數(shù)列不具有性質(zhì);具有性質(zhì);(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)新定義直接驗證即可的結(jié)論(2)對于“是有限集”是“數(shù)列具有性質(zhì)”的必要不充分條件,先證不充分性對于周期數(shù)列, 是有限集,但是由于,
所以不具有性質(zhì);再證必要性因為數(shù)列具有性質(zhì),所以一定存在一組最小的且,滿足,即,所以數(shù)列中必然會以某個周期進行,所以數(shù)列中最多有個不同的項,從而得證(3)因為數(shù)列具有性質(zhì),數(shù)列具有性質(zhì),所以存在,使得, ,其中分別是滿足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù),然后根據(jù)其性質(zhì)列出相關(guān)等式可得結(jié)論,然后逐一分析取值討論
試題解析:
(Ⅰ)數(shù)列不具有性質(zhì);具有性質(zhì).
(Ⅱ)(不充分性)對于周期數(shù)列, 是有限集,但是由于,
所以不具有性質(zhì);
(必要性)因為數(shù)列具有性質(zhì),
所以一定存在一組最小的且,滿足,即
由性質(zhì)的含義可得
所以數(shù)列中,從第k項開始的各項呈現(xiàn)周期性規(guī)律: 為一個周期中的各項,
所以數(shù)列中最多有個不同的項,
所以最多有個元素,即是有限集.
(Ⅲ)因為數(shù)列具有性質(zhì),數(shù)列具有性質(zhì),
所以存在,使得, ,其中分別是滿足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù),
由性質(zhì)的含義可得, ,
若,則取,可得;
若,則取,可得.
記,則對于,有, ,顯然,
由性質(zhì)的含義可得, ,
所以
所以.
所以,
又是滿足, 的最小的正整數(shù),
所以,
,
所以, ,
所以, , ,
取,則,
所以,若是偶數(shù),則;
若是奇數(shù),則,
所以,
所以是公差為1的等差數(shù)列.
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【題目】已知函數(shù),.
(1).當時,求的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當,對于任意,都有,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)的圖象始終在直線的下方,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】學(xué)校為測評班級學(xué)生對任課教師的滿意度,采用“100分制”打分的方式來計分.現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機抽取10名,以下莖葉圖記錄了他們對某教師的滿意度分數(shù)(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉):
規(guī)定若滿意度不低于98分,測評價該教師為“優(yōu)秀”.
(1)求從這10人中隨機選取3人,至多有1人評價該教師是“優(yōu)秀”的概率;
記ξ表示抽到評價該教師為“優(yōu)秀”的人數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(2)以這10人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個班級的總體數(shù)據(jù),若從該班任選3人,
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【題目】已知圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),點A的極坐標為( , ),設(shè)直線l與圓C交于點P、Q.
(1)寫出圓C的直角坐標方程;
(2)求|AP||AQ|的值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x|x﹣a|,若對于任意的x1 , x2∈[﹣2,+∞),x1≠x2 , 不等式 >0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
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【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB= .D,E分別為線段AB,BC上的點,且CD=DE= ,CE=2EB=2
(1)證明:DE⊥平面PCD
(2)求二面角B﹣PD﹣C的余弦值.
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【題目】如圖,類比三角形中位線定理“如果EF是三角形的中位線,則EF AB.”,在空間四面體(三棱錐)P﹣ABC中,“如果 , 則”.
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【題目】設(shè)函數(shù)y=4x3+ax2+bx+5在x= 與x=﹣1時有極值.
(1)寫出函數(shù)的解析式;
(2)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)n∈N* , 證明: + +…+ <ln(n+1).
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