【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為邊長為2的菱形,∠DAB=60°,∠ADP=90°,面ADP⊥面ABCD,點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn).
(1)在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,使得AF∥面PCE,并說明理由;
(2)當(dāng)二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時,求直線PB與平面ABCD所成的角.
【答案】(1)見解析;(2)45°
【解析】
(1)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)取PC的中點(diǎn)Q,連結(jié)EQ、FQ,推導(dǎo)出四邊形AEQF為平行四邊形,從而AF∥EQ,由此能證明AF∥平面PEC.(2)推導(dǎo)出ED⊥CD,PD⊥AD,且從而PD⊥面ABCD,故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線PB與平面ABCD所成的角.
(1)在棱AB上存在點(diǎn)E,使得AF∥面PCE,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).
理由如下:取PC的中點(diǎn)Q,連結(jié)EQ、FQ,由題意,F(xiàn)Q∥DC且,AE∥CD且,
故AE∥FQ且AE=FQ.所以,四邊形AEQF為平行四邊形.所以,AF∥EQ,又EQ平面PEC,AF平面PEC,
所以,AF∥平面PEC.
(2)由題意知△ABD為正三角形,所以ED⊥AB,亦即ED⊥CD,又∠ADP=90°,
所以PD⊥AD,且面ADP⊥面ABCD,面ADP∩面ABCD=AD,
所以PD⊥面ABCD,故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間坐標(biāo)系,
設(shè)FD=a,則由題意知D(0,0,0),F(xiàn)(0,0,a),C(0,2,0),,
,,設(shè)平面FBC的法向量為,
則由得,令x=1,則,,
所以取,顯然可取平面DFC的法向量,
由題意:,所以a=1.
由于PD⊥面ABCD,所以PB在平面ABCD內(nèi)的射影為BD,
所以∠PBD為直線PB與平面ABCD所成的角,
易知在Rt△PBD中,從而∠PBD=45°,
所以直線PB與平面ABCD所成的角為45°.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】超級病菌是一種耐藥性細(xì)菌,產(chǎn)生超級細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多,但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生,很多致病菌也對相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性,更可怕的是,抗生素藥物對它起不到什么作用,病人會因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y,高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細(xì)菌,需要檢驗(yàn)血液是否為陽性,現(xiàn)有n()份血液樣本,每個樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗(yàn)方式:
(1)逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)n次;
(2)混合檢驗(yàn),將其中k(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn),若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這k份再逐份檢驗(yàn),此時這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次,假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p().
(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽性,若采用逐份檢驗(yàn)方式,求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率;
(2)現(xiàn)取其中k(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.
(i)試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識,若,試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;
(ii)若,采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少,求k的最大值.
參考數(shù)據(jù):,,,,
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了了解籃球運(yùn)動是否與性別相關(guān),在高一新生中隨機(jī)調(diào)查了40名男生和40名女生,調(diào)查的結(jié)果如下表:
喜歡 | 不喜歡 | 總計(jì) | |
女生 | 8 | ||
男生 | 20 | ||
總計(jì) |
(1)根據(jù)題意完成上面的列聯(lián)表,并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析,能否在犯錯的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為喜歡籃球運(yùn)動與性別有關(guān)?
(2)從女生中按喜歡籃球運(yùn)動與否,用分層抽樣的方法抽取5人做進(jìn)一步調(diào)查,從這5人中任選2人,求2人都喜歡籃球運(yùn)動的概率.
附:
0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn),,證明: .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: ()的焦點(diǎn)是橢圓: ()的右焦點(diǎn),且兩曲線有公共點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為, ,若過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),已知直線與相較于點(diǎn),試判斷點(diǎn)是否在一定直線上?若在,請求出定直線的方程;若不在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了拓展城市的旅游業(yè),實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流,政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路,中間設(shè)有至少8個的偶數(shù)個十字路口,記為,現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹,且種植每種樹木的概率均為.
(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見,看看哪一種植物更受歡迎,得到的數(shù)據(jù)如下所示:
A市居民 | B市居民 | |
喜歡楊樹 | 300 | 200 |
喜歡木棉樹 | 250 | 250 |
是否有的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性;
(2)若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個路口,恰有個路口種植楊樹,求的分布列以及數(shù)學(xué)期望;
(3)在所有的路口種植完成后,選取3個種植同一種樹的路口,記總的選取方法數(shù)為,求證:.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中:①若“”是“”的充要條件;
②若“,”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;
③已知平面、、,直線、,若,,,,則;
④函數(shù)的所有零點(diǎn)存在區(qū)間是.
其中正確的個數(shù)是( )
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com