Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=1，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程

x=6- 3 2 t y= 1 2 t

，（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=3x y′=y

得到曲線C′，在曲線C′上求一點M，使點M到直線l的距離最小，并求出最小距離．

Answer 1

分析：（I）由極坐標(biāo)下的方程化為普通方程的公式即可將ρ=1化為普通方程；把直線l的參數(shù)方程中的參數(shù)消去即可得到直線l的普通方程．
（II）利用伸縮變換

x′=3x y′=y

得到曲線C′，再根據(jù)得到的曲線C'方程，利用三角代換即可把點M到直線l的距離的最小值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)類型的最值問題．

解答：解：（I）設(shè)點P（x，y）是曲線C上的任意一點，由ρ=

x2+y2

，ρ=1，可得x²+y²=1即為曲線C的直角坐標(biāo)方程．
又已知直線l的參數(shù)方程

x=6- 3 2 t y= 1 2 t

，可得直線l的普通方程為l：x+

3

y-6=0．
（Ⅱ） 設(shè)點P（x，y），是圓C上的任意一點，經(jīng)過伸縮變換

x′=3x y′=y

得到點P'（x'，y'）
由

x′=3x y′=y

得

x= x′ 3 y=y′

，把

x= x′ 3 y=y′

代入圓x²+y²=1得，

x′2

9

+y′2=1
所以曲線C'：

x2

9

+y2=1
令M（3cosθ，sinθ），則點M到直線l的距離
d=

|3cosθ+ 3 sinθ-6|

2

=

|2 3 cos(θ- π 6 )-6|

2

∴當(dāng)θ-

π

6

=0即θ=

π

6

時，d_min=

6-2 3

2

=3-

3

，此時，3cosθ=

3 3

2

，sinθ=

1

2

∴當(dāng)M（

3 3

2

，

1

2

）時，點M到直線l的距離的最小值為3-

3

．

點評：本題考查的是將極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程，及用參數(shù)法求代數(shù)式的最值．