平面直角坐標系中,直線l的參數(shù)方程是
x=t
y=
3
t
(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0.
(1)求直線l的極坐標方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,求|AB|.
分析:(1)將直線化成普通方程,可得它是經(jīng)過原點且傾斜角為
π
3
的直線,由此不難得到直線l的極坐標方程;
(2)將直線l的極坐標方程代入曲線C極坐標方程,可得關(guān)于ρ的一元二次方程,然后可以用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合配方法,可以得到AB的長度.
解答:解:(1)直線l的參數(shù)方程是
x=t
y=
3
t
(t為參數(shù)),化為普通方程得:y=
3
x
∴在平面直角坐標系中,直線l經(jīng)過坐標原點,傾斜角是
π
3
,
因此,直線l的極坐標方程是θ=
π
3
,(ρ∈R);     …(5分)
(2)把θ=
π
3
代入曲線C的極坐標方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0,得ρ2-
3
ρ-3=0
∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得ρ12=
3
,ρ1ρ2=-3,
∴|AB|=|ρ12|=
(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2
=
15
.  …(10分)
點評:本題以參數(shù)方程和極坐標方程為例,考查了兩種方程的互化和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識點,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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1
2
,2),B(-
1
2
,-
3
),將其所在紙面沿x軸折成直二面角,則折起后的A,B兩點的距離是
2
2
2
2

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