已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，
（1）若
a
⊥
.
b
．且-
π
2
＜θ＜
π
2
．  求θ；
（2）求函數(shù)y=|
a
+
.
b
|的單調(diào)增區(qū)間和函數(shù)圖象的對稱軸方程．
分析：（1）利用兩個向量垂直的性質(zhì)可得sinθ+cosθ=0，再根據(jù)θ的范圍，求得θ的值．
（2）化簡函數(shù)的解析式為 y=
．2
2
sin(θ+
π
4
)+3
，由2kπ-
π
2
≤θ+
π
4
≤2kπ+
π
2
，(k∈Z)
得求函數(shù)y=|
a
+
b
|的單調(diào)增區(qū)間，由x+
π
4
=kπ+
π
2
，k∈Z 求得對稱軸方程．
解答：解（1）
a
⊥
b
，  ∴ 
.
a
•
.
b
=0，∴sinθ+cosθ=0．
∵-
π
2
＜θ＜
π
2
 ，    ∴  θ=-
π
4
．
（2）y=|
a
+
b
|=|(sinθ+1，cosθ+1)|=
(sinθ+1)2+(cosθ+1)2
=
sin2θ+2sinθ+1+cos2θ+2cosθ+1

=
2(sinθ+cosθ)+3
=
．2
2
sin(θ+
π
4
)+3
．
由2kπ-
π
2
≤θ+
π
4
≤2kπ+
π
2
，(k∈Z)得求函數(shù)y=|
a
+
b
|的單調(diào)增區(qū)間是：[2kπ-
3π
4
，2kπ+
π
4
](k∈Z)．
由x+
π
4
=kπ+
π
2
，k∈Z．得對稱軸方程是：x=kπ+
π
4
，k∈Z．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱性．
化簡函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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