Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，則當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先求出函數(shù)的解析式，再對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解；

（2）先通過分類討論去掉絕對值，再將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，則問題獲解．

解：（1）由題意得，，

所以．

所以或時(shí)，恒成立，

即當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．

當(dāng)時(shí)，令，得，

令，得或，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，）的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，

等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立．

由得．

令．

①若

在上單調(diào)遞減，

所以，所以，

則，與矛盾，故此時(shí)不存在．

②若，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，

所以，此時(shí)，符合題意．

當(dāng)時(shí)，．

令得．

令，則在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，所以．

所以則在上單調(diào)遞增，

所以，

所以，

即．

又，

所以．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．