Question

【題目】已知數列中，.又數列滿足：.

（1）求證：數列是等比數列；

（2）若數列是單調遞增數列，求實數a的取值范圍；

（3）若數列的各項皆為正數，設是數列的前n和，問：是否存在整數a，使得數列是單調遞減數列？若存在，求出整數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解;(2);(3)存在,此時

【解析】

(1)將已知條件轉化,利用定義法證明數列是等比數列;

(2)利用數列的單調性,即可求出參數的范圍;

(3)假設數列是單調遞減數列,利用其性質可推出滿足條件的整數a,進而得以證明.

(1),

,

,

,

即,

又,

由,可知,

所以是以為首項,2為公比的等比數列;

(2)由(1)知,

所以,

若是單調遞增數列,

則對于,恒成立,

又

,

所以對于恒成立,

即對于恒成立,

由于單調遞增,且,

,

所以,又,則,

所以的取值范圍為;

(3)因為數列的各項皆為正數,

所以,則,

,

若數列是單調遞減數列,則,即

所以,即

又,所以,

即,即(),

故存在正整數,使得數列是單調遞減數列.