Question

已知{a_n}是遞減等比數(shù)列，a₂=2，a₁+a₃=5，則a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先設(shè)a_n=a₁q^n-1，把a(bǔ)₂=2，a₁+a₃=5兩式相除可求得q，根據(jù)a₂=2進(jìn)而可求得a₁再根據(jù)數(shù)列{a_na_n+1}為以q²為公比，2為首項(xiàng)等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

32[1-( 1 2 )2n]

3

，進(jìn)而答案可得．

解答：解：設(shè)a_n=a₁q^n-1，
∴a₂=a₁q=2①，a₁+a₃=a₁（1+q²）=5②
①÷②得

q

1+q2

=

2

5

，解得q=2或

1

2

∵{a_n}是遞減等比數(shù)列，
∴q＜1
∴q=

1

2

③
把③代入①得a₁=4
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=a₂¹q+a₂¹q³+…+a₂¹q²ⁿ=

a

1 2

[

q(1-q2n)

1-q2

]=

32[1-( 1 2 )2n]

3

∈[8，

32

3

)
故答案為：[8，

32

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．因等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中有qⁿ的形式，與指數(shù)函數(shù)關(guān)系密切，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究等比數(shù)列．