Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

（a∈R）定義域為（0，1），則f（x）的圖象不可能是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：高考數(shù)學專題,函數(shù)的性質及應用

分析：已知函數(shù)f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

（a∈R），在函數(shù)式中含有參數(shù)，所以本題在定義域內(nèi)對參數(shù)的討論是本題的重點，可以對參數(shù)a分以下幾種情況進行討論①a=0②a＜0③a＞0根據(jù)不同的情況進行具體分析

解答： 解：已知函數(shù)f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

（a∈R），定義域為（0，1），下面把參數(shù)分以下三種情況進行討論：
（1）當a=0 函數(shù)f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

轉化為f（x）=

2(1-x)

1+x

對定義域（0，1）內(nèi)的每一個x代入關系式得到，f（x）＞0．故A符合
（2）當a＜0 用單調性來進行討論 由于函數(shù)lnx在定義域（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，則alnx為減函數(shù)
同時

2(1-x)

1+x

=

4

1+x

-2也為減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）為減函數(shù)，故A符合
（3）當a＞0 利用函數(shù)的導數(shù)來討論，已知f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

，
則f′（x）=

a

x

+

-4

(1+x)2

=

ax2+(2a-4)x+a

x(1+x)2

，令f′（x）=0 即ax²+（2a-4）x+a=0
則△=16-16a下面再分三種情況討論
①當a=1，f′（x）=

x2-2x+1

x(1+x)2

=

(x-1)2

x(1+x)2

＞0 則函數(shù)f（x）為增函數(shù)
故B符合
②當1＞a＞0時ax²+（2a-4）x+a=0存在兩根x₁=

(2-a)+2 1-a

a

，x₂=

(2-a)-2 1-a

a

，由于1＞a＞0則 得到1＞x₁＞0，x₂＞1 
當x₁＞x＞0函數(shù)圖象為增函數(shù)  當x₁＜x＜1時為減函數(shù)
故C符合
③當a＞1時 f′（x）＞0恒成立
故B符合
通過以上討論，排除得到答案應D．

點評：本題利用的知識點較多，通過函數(shù)的值，函數(shù)的單調性，以及導數(shù)進行分類討論難度較大．分類討論是解決本題的關鍵