已知函數(shù)(為常數(shù)),其圖象是曲線.
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)設函數(shù)的導函數(shù)為,若存在唯一的實數(shù),使得與同時成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)已知點為曲線上的動點,在點處作曲線的切線與曲線交于另一點,在點處作曲線的切線,設切線的斜率分別為.問:是否存在常數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
(1);(2);(3)當時,存在常數(shù),使;當時,不存在常數(shù),使.
解析試題分析:(1)這是一個求函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的問題,比較簡單,可以通過導數(shù)的符號去判斷;(2)這是一個兩方程有公共解且公共解唯一的問題,消去參數(shù)后就轉化為含有參數(shù)的關于未知數(shù)的三次方程有唯一解的問題,可利用三次函數(shù)的圖象判斷;(3)可設,然后把點的坐標和都用表示,再考察關于的等式恒成立,從而去確定常數(shù)是否存在.
試題解析:(1)當時, . 2分
令f ¢(x)<0,解得,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為. 4分
(2) ,
由題意知消去,得有唯一解. 6分
令,則,
以在區(qū)間,上是增函數(shù),在上是減函數(shù), 8分
又,,
故實數(shù)的取值范圍是. 10分
(3) 設,則點處切線方程為,
與曲線:聯(lián)立方程組,得,即,所以點的橫坐標. 12分
由題意知,,,
若存在常數(shù),使得,則,
即常數(shù),使得,
所以常數(shù),使得解得常數(shù),使得,. 15分
故當時,存在常數(shù),使;當時,不存在常數(shù),使.16分
考點:函數(shù)與方程、導數(shù)的綜合應用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知向量m=(ex,ln x+k),n=(1,f(x)],m∥n(k為常數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸垂直,F(x)=xexf′(x).
(1)求k的值及F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)g(x)=-x2+2ax(a為正實數(shù)),若對于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù).
(Ⅰ)若在x=處的切線與直線4x+y=0平行,求a的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為,證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當時,求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(Ⅰ)若與在處相切,試求的表達式;
(Ⅱ)若在上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)證明不等式: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(Ⅰ)當a=4時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值;
(Ⅲ)若存在,使方程成立,求實數(shù)a的取值范圍(其中e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知是二次函數(shù),不等式的解集是,且在點處的切線與直線平行.
(1)求的解析式;
(2)是否存在t∈N*,使得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根?
若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的極值點;
(2)若在上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(3)設,若在上至少存在一個,使得成立,求的取值范圍.
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