已知函數(shù).
(1)證明:;
(2)當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.
(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2).
解析試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問(wèn),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/26/2/1jcwf4.png" style="vertical-align:middle;" />,所求證,所以只需分母即可,設(shè)函數(shù),對(duì)求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出最小值,證明最小值大于0即可,所求證的不等式的右邊,需證明函數(shù)的最大值為1即可,對(duì)求導(dǎo),判斷單調(diào)性求最大值;第二問(wèn),結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論,討論的正負(fù),當(dāng)時(shí),,而與矛盾,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),與矛盾,當(dāng)時(shí),分母去分母,等價(jià)于,設(shè)出新函數(shù),需要討論的情況,判斷在每種情況下,是否大于0,綜合上述所有情況,寫(xiě)出符合題意的的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)設(shè),則.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
所以.
又,故. 2分
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
所以.
綜上,有. 5分
(Ⅱ)(1)若,則時(shí),,不等式不成立. 6分
(2)若,則當(dāng)時(shí),,不等式不成立. 7分
(3)若,則等價(jià)于. ①
設(shè),則.
若,則當(dāng),,單調(diào)遞增,. 9分
若,則當(dāng),,單調(diào)遞減,.
于是,若,不等式①成立當(dāng)且僅當(dāng). 11分
綜上,的取值范圍是.
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3.恒成立問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)若,求函數(shù)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)(為常數(shù)),其圖象是曲線.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若存在唯一的實(shí)數(shù),使得與同時(shí)成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),在點(diǎn)處作曲線的切線與曲線交于另一點(diǎn),在點(diǎn)處作曲線的切線,設(shè)切線的斜率分別為.問(wèn):是否存在常數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中為常數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),設(shè)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)若以函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有四個(gè)不同交點(diǎn)?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)=。
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(3)在(1)的條件下,設(shè)=+,
求證: (),參考數(shù)據(jù):。(13分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知.
(1)曲線y=f(x)在x=0處的切線恰與直線垂直,求的值;
(2)若x∈[a,2a]求f(x)的最大值;
(3)若f(x1)=f(x2)=0(x1<x2),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)(),其中.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極大值和極小值.
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