Question

甲、乙兩位同學玩游戲，對于給定的實數(shù)a₁，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)：由甲、乙同時各拋一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把a₁乘以2后再減去12；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝上，則把a₁除以2后再加上12，這樣就可得到一個新的實數(shù)a₂．對a₂仍按上述方法進行一次操作，又得到一個新的實數(shù)a₃．當a₃＞a₁時，甲獲勝，否則乙獲勝．若甲獲勝的概率為

3

4

，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析：按要求操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)，實際上這是一個新定義問題，列舉得到新的實數(shù)的途徑，列出不等式，根據(jù)所給的甲獲勝的概率為

3

4

，可求a₁的取值范圍．

解答：解：a₃的結(jié)果有四種，每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率都是

1

4

1．a(chǎn)₁→2a₁-12→2（2a₁-12）-12=4a₁-36=a₃，
2．a(chǎn)₁→2a₁-12→

2a1-12

2

+12=a₁+6=a₃，
3．a(chǎn)₁→

a1

2

+12→

a1 2 +12

2

+12=

a1

4

+18=a₃，
4．a(chǎn)₁→

a1

2

+12→2（

a1

2

+12）-12=a₁+12=a₃，
∵a₁+18＞a₁，a₁+36＞a₁，
∴要使甲獲勝的概率為

3

4

，即a₃＞a₁的概率為

3

4

，
∴4a₁+36＞a₁，

a1

4

+18≤a₁，
或4a₁+36≤a₁，

a1

4

+18＞a₁，
解得a₁≥24或a₁≤-12．

點評：本題考查新定義，考查生分析問題、解決問題，理解題意有些麻煩，屬于中檔題．