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如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=
π
2
，AD=
3
，EF=2．
（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）設
AB
BE
=λ(λ＞0)，當λ取何值時，二面角A-EF-C的大小為
π
3
？
分析：（1）根據在一個平面上有兩條相交直線與另一個平面的兩條相交直線平行，得到兩個平面平行，根據面面平行再推出線面平行．
（2）建立坐標系，設出BE=m，求出平面AFE法向量，根據線面垂直，得到平面的法向量，求出兩個平面夾角是已知角度時的結果．
解答：解：（1）BE∥CF，AB∥CD且BE∩AB=B，FC∩CD=C，∴面ABE∥面CDF
又AE?面ABE，∴AE∥面CDF
（2）∵∠BCF=
π
2
，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD
以C為坐標原點，以CB，CD，CF分別為x，y，z軸建系，設BE=m，由
AE
BE
=λ得AB=λm，
∴A(
3
，λm，0)，E(
3
，0，m)，F(0，0，m+1)，D(0，λm，0)
平面AFE法向量
n
=(λ，
3
3
λ)，又∵CD⊥面CEF
∴
CD
=(0，λm，0)是平面CEF的一個法向量，
∴cos
π
3
=
|
CD
•
n
|
|
CD
||
n
|
，即λ=
3
2
點評：本題考查用空間向量求兩個平面間的夾角，本題解題的關鍵是求出兩個平面的法向量，把解題的重點轉移到數字的運算．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=
3
，EF=2．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=
π
2
，AD=
3
，EF=2．
（I）求證：DF∥平面ABE；
（II）設
CF
CD
=λ，問：當λ取何值時，二面角D-EF-C的大小為
π
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和矩形BCEF所在平面互相垂直，G為邊BF上一點，∠CGE=90°，AD=
3
，GE=2．
（1）求證：直線AG∥平面DCE；
（2）當AB=
2
時，求直線AE與面ABF所成的角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
3
，
EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當二面角D-EF-C的大小為45°時，求二面角A-EC-B的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
3
，EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當二面角D-EF-B的大小為45°時，求二面角A-EC-F的大�。�

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