如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
3
，
EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當二面角D-EF-C的大小為45°時，求二面角A-EC-B的正切值．
分析：如圖，以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別為作x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系 C-xyz，設出AB，BE，CF，求出C，A，B，E，F(xiàn)，D的坐標，（1）求出cos＜
DA
，
FE
＞=
DA
•
FE
|
DA
|•|
FE
|
中的有關(guān)向量，即可求出所求角的大�。�
（2）求出平面AEC的法向量
n
，通過cos＜
n
，
BA
＞=
n
•
BA
|
n
|•|
BA
|
，即可求解二面角A-EC-B的正切值．
解答：解：如圖，以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別為作x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系    C-xyz．…（1分）
設AB=a，BE=b，CF=c，(b＜c)
則C(0，0，0)，A(
3
，0，a)，B(
3
，0，0)，E(
3
，b，0)，

F（0，c，0），D（0，0，a）…（2分）
（1）
DA
=(
3
，0，0)，
CB
=(
3
，0，0)，
FE
=(
3
，b-c，0)，
由|
FE
|=2，得3+(b-c)2=4，∴b-c=-1．…（4分）
所以
FE
=(
3
，-1，0)．
所以cos＜
DA
，
FE
＞=
DA
•
FE
|
DA
|•|
FE
|
=
3
3
×2
=
3
2
，…（5分）
所以異面直線AD與EF成30°   …（6分）
（2）當二面角D-EF-C的大小為45，即∠DEC=45°．
設
n
=(1，y，z)為平面AEC的法向量，則
n
•
AE
=0，
n
•
EC
=0，
求得
n
=(1，-
3
3
，-
1
2
)．…（8分）
又因為BA⊥平面BEFC，
BA
=(0，0，1)，
所以cos＜
n
，
BA
＞=
n
•
BA
|
n
|•|
BA
|
=-
57
19
…（10分）
sin＜
n
，
BA
＞=
1-cos2＜
n
，
BA
＞ 
═
1-(-
57
19
)2
=
4
19
19
，
tan＜
n
，
BA
＞=
4
19
19
-
57
19
=
4
3
3
．
∴二面角A-EC-B的正切值為
4
3
3
，．…（12分）
點評：本題是中檔題，考查異面直線所成的角，二面角的求法，考查空間想象能力，計算能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=
3
，EF=2．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=
π
2
，AD=
3
，EF=2．
（I）求證：DF∥平面ABE；
（II）設
CF
CD
=λ，問：當λ取何值時，二面角D-EF-C的大小為
π
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和矩形BCEF所在平面互相垂直，G為邊BF上一點，∠CGE=90°，AD=
3
，GE=2．
（1）求證：直線AG∥平面DCE；
（2）當AB=
2
時，求直線AE與面ABF所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
3
，EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當二面角D-EF-B的大小為45°時，求二面角A-EC-F的大�。�

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