【題目】如圖,在以A,B,C,D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°.

(1)證明平面ABEF⊥平面EFDC;
(2)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.

【答案】
(1)

證明:∵ABEF為正方形,∴AF⊥EF.

∵∠AFD=90°,∴AF⊥DF,

∵DF∩EF=F,

∴AF⊥平面EFDC,

∵AF平面ABEF,

∴平面ABEF⊥平面EFDC;


(2)

解:

由AF⊥DF,AF⊥EF,

可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角;

由CE⊥BE,BE⊥EF,

可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角.

可得∠DFE=∠CEF=60°.

∵AB∥EF,AB平面EFDC,EF平面EFDC,

∴AB∥平面EFDC,

∵平面EFDC∩平面ABCD=CD,AB平面ABCD,

∴AB∥CD,

∴CD∥EF,

∴四邊形EFDC為等腰梯形.

以E為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)FD=a,

則E(0,0,0),B(0,2a,0),C( ,0, a),A(2a,2a,0),

=(0,2a,0), =( ,﹣2a, a), =(﹣2a,0,0)

設(shè)平面BEC的法向量為 =(x1,y1,z1),則 ,

,取 =( ,0,﹣1).

設(shè)平面ABC的法向量為 =(x2,y2,z2),則 ,

,取 =(0, ,4).

設(shè)二面角E﹣BC﹣A的大小為θ,則cosθ=﹣

=﹣ = ,

則二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣


【解析】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題.(1)證明AF⊥平面EFDC,利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF⊥平面EFDC;(2)證明四邊形EFDC為等腰梯形,以E為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,求出平面BEC、平面ABC的法向量,代入向量夾角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值.本題考查平面與平面垂直的證明,考查用空間向量求平面間的夾角,建立空間坐標(biāo)系將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為體育迷”.

(1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為體育迷與性別有關(guān)?

非體育迷

體育迷

合計(jì)

10

55

合計(jì)

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的體育迷人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).

附:.

P(K2k)

0.05

0.01

k

3.841

6.635

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