Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：過點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P（x，y）在橢圓C上，F(xiàn)為橢圓的左焦點，直線l的方程為xx+3yy-6=0．
①求證：直線l與橢圓C有唯一的公共點；
②若點F關(guān)于直線l的對稱點為Q，求證：當(dāng)點P在橢圓C上運動時，直線PQ恒過定點，并求出此定點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A，B的坐標(biāo)代人橢圓的方程即可解得a²，b²；
（2）①把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，證明△=0即可；
②把直線l的方程為xx+3yy-6=0與過點F且與直線l垂直的方程為3yx-xy+6y=0聯(lián)立即可得到交點坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公式即可得到其對稱點Q的坐標(biāo)，得到直線PQ的方程即可證明．
解答：解：（1）由題意得解得
所以所求橢圓C的方程為．
（2）聯(lián)立，消去y得（*）
由于點P（x，y）在橢圓C上，∴，化為．
故（*）可化為．
∵．
所以方程組僅有一組解（x，y），即直線與橢圓有唯一公共點．
②點F（-2，0），過點F且與直線l垂直的方程為3yx-xy+6y=0．
解方程，得，
因為P（x，y）在橢圓，∴，所以解即為．
所以點F（-2，0）關(guān)于直線l的對稱點的坐標(biāo)為Q．
當(dāng)x≠2時，=．
所以直線PQ的方程為．
即（x-2）y-yx+2y=0．
∴，即直線過定點M（2，0）．
點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、軸對稱、中點坐標(biāo)公式、直線過定點問題等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．